Tίτλος του μαθήματος

Μη-γραμμικά φαινόμενα στη Φυσική

Κωδικός αριθμός μαθήματος

ΕLTP19

Τύπος του μαθήματος

Επιλογής

Επίπεδο του μαθήματος

Μεταπτυχιακό (ΜΔΕ)

Έτος σπουδών

Εξάμηνο

Πιστωτικές μονάδες ECTS

7

Όνομα του διδάσκοντος/των διδασκόντων

Χρήστος Ευθυμιόπουλος

Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα του μαθήματος

Στο τέλος αυτού του μαθήματος ο φοιτητής θα μπορεί να

1. Κατανοεί τις βασικές αναλυτικές και αριθμητικές μεθόδους μελέτης των μη-γραμμικών φαινομένων στην κλασσική και στην κβαντική φυσική.

2. Διαχειρίζεται μεθόδους της θεωρίας διαταραχών για τη μελέτη της δομής του χώρου φάσεων (ύπαρξη συντονισμών - τοπικών ολοκληρωμάτων, επικάλυψη συντονισμών)

3. Κατανοεί την έννοια του χάους και τη σημασία του για τη χρονική εξέλιξη και τη στατιστική συμπεριφορά μη-γραμμικών συστημάτων

4. Παρακολουθεί συγκεκριμένα παραδείγματα εφαρμογής των μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων σε διάφορες περιοχές της Φυσικής (ατομική Φυσική - δομή της ύλης - Φυσική των συνεχών μέσων - θεωρία πεδίων - Ουράνιος μηχανική - Σχετικότητα - Κοσμολογία)

Δεξιότητες

Στο τέλος αυτού του μαθήματος ο φοιτητής θα έχει περαιτέρω αναπτύξει τις ακόλουθες δεξιότητες

1. Ικανότητα να αναπτύσσει προγράμματα συμβολικής άλγεβρας (π.χ. σε Mathematica ή Matlab) με σκοπό την εφαρμογή αναλυτικών μεθόδων όπως περιγράφεται ανωτέρω

2. Ικανότητα να γράφει προγράμματα αριθμητικών υπολογισμών με χρήση βασικής γλώσσας (π.χ. Fortran ή C) για την επίλυση κυρίως του προβλήματος αρχικών τιμών ενός συνόλου μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

Προαπαιτήσεις

Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα μαθήματα. Οι φοιτητές πρέπει να έχουν τουλάχιστον βασική γνώση Μηχανικής, Διαφορικών Εξισώσεων και Κβαντομηχανικής

Περιεχόμενα (ύλη) του μαθήματος

1. Γενική θεωρία: γραμμικά δυναμικά συστήματα

1.1 Κρίσιμα σημεία
1.2 Είδη ευστάθειας
1.3 Τοπικό φασικό διάγραμμα
1.4 Θεωρία διακλαδώσεων
1.5 Σύνδεση φασικών πορτραίτων

2. Εισαγωγή στο Χαμιλτονιανό Χάος

2.1 Το πρότυπο του εκκρεμούς με εξωτερική διέγερση
2.2 Θεωρία διαταραχών
2.3 Αναλλοίωτες πολλαπλότητες και ομοκλινικό χάος
2.4 Πέταλο Smale
2.5 Αριθμός Lyapunov

3. Κανονική θεωρία διαταραχών

3.1 Σειρές Lindstedt
3.2 Μεταβλητές γωνίας - δράσης
3.3 Κανονικοί μετασχηματισμοί - γεννήτριες συναρτήσεις Lie
3.4 Κανονική μορφή Birkhoff - Προσεγγιστικά ολοκληρώματα
3.5 Κανονικές μορφές σε περιοχές συντονισμού - επικάλυψη συντονισμών
3.6 Θεωρία Kolmogorov - Arnold - Moser
3.7 Συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας
3.8 Διάχυση Arnold - Ευστάθεια Nekhoroshev

4. Κβαντικά δυναμικά συστήματα

4.1 Κβαντική θεωρία διαταραχών - δαταραγμένοι τελεστές δημιουργίας - καταστροφής
4.2 Προσεγγιστικές "σύμφωνες" καταστάσεις (coherent states)
4.3 Κατανομές ενεργειακών διαφορών Poisson και Wigner
4.4 Συναρτήσεις Wigner - Husimi
4.5 Θεωρία de Broglie - Bohm

5. Χάος σε συστήματα με απώλειες

5.1 Λογιστική απεικόνιση - σταθερές Feigenbaum
5.2 Μη-γραμμική δυναμική ρευστών
5.3 Διαλειπτότητα - τίρβη

6. Σολιτόνια

6.1 Εξίσωση Korteweg - de Vries
6.2 Το πρόβλημα των Fermi - Pasta - Ulam
6.3 Εξίσωση Sine - Gordon
6.4 Μη-γραμμική εξίσωση Schrodinger
6.5 Συμπυκνώματα Bose - Einstein

7. Εφαρμογές

7.1 Ουράνιος Μηχανική - Γαλαξιακή δυναμική
7.2 Κοσμολογία βαθμωτού πεδίου
7.3 Φυσική πλάσματος και επιταγχυντών
7.4 Μη-γραμμική οπτική
7.5 Μονόπολα στην θεωρία πεδίων
7.6 Χάος στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

Συνιστώμενη βιβλιογραφία προς μελέτη

1. «Τάξη και Χάος στα μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα: Τόμοι Ι και ΙΙ », Τ. Μπούντης και Σ. Πνευματικός , Εκδόσεις Πνευματικός, Αθήνα, 1988-1989. 2. «Order and Chaos in Dynamical Astronomy: 2nd Edition», G. Contopoulos, Springer, 2004. 3. «Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields», J. Guckenheimer and P.J. Holmes. Lect. Notes Math. 898, Springer-Verlag, 1983.

4. «Chaos in Classical and Quantum Mechanics», M. Gutzwiller, Springer-Verlag, New York, 1990. 5. «Regular and Chaotic Dynamics», Α.J. Lichtenberg and M.A. Lieberman, Springer-Verlag, New York, 1992. 6. «Hamiltonian Systems. Chaos and Quantization», A. Ozorio de Almeida. Cambridge University Press. Cambridge. 1988.

7. «Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos», S. Wiggins, Springer-Verlag, New York, 1989.

Διδακτικές και μαθησιακές μέθοδοι

Παραδόσεις στον πίνακα και σε powerpoint, υποδειγματική επίλυση προβλημάτων, επίλυση ασκήσεων από τους φοιτητές

Μέθοδοι αξιολόγησης/βαθμολόγησης

1) Εργασία (40% του τελικού βαθμού). Σε συνεννόηση με τον κάθε φοιτητή επιλέγεται ένα paper της βιβλιογραφίας σε περιοχή που να εντάσσεται στα ευρύτερα γνωστικά ενδιαφέροντα του φοιτητή. Ζητείται ι) η αναπαραγωγή των κυριότερων αναλυτικών και αριθμητικών αποτελεσμάτων του paper, και ιι) μια απλή επέκταση που οδηγεί σε νέα αποτελέσματα.

2) Γραπτή εξέταση (60% του τελικού βαθμού)

Γλώσσα διδασκαλίας

Ελληνικά. Mπορούν όμως να γίνουν οι παραδόσεις στην αγγλική γλώσσα στην περίπτωση που αλλοδαποί φοιτητές παρακολουθούν το πρόγραμμα.